Relación de las Funciones Trigonométricas y sus Reciprocas

Las funciones trigonométricas son razones trigonométricas, es decir la división entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a sus ángulos, estas funciones surgieron al estudiar el triángulo rectángulo y observar que los cocientes entre las longitudes de dos de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Seno y su reciproca Cosecante En un triángulo rectángulo, el seno y la cosecante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x), se expresan con las razones siguientes:

Coseno y su reciproca Secante En un triángulo rectángulo, las razones del coseno y la secante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x) son:

Tangente y su reciproca Cotangente La tangente y cotangente de cualquiera de los ángulos agudos (x) de un triángulo se establece con las siguientes razones:

Fuentes de Consulta: http://matematicasmodernas.com/funciones-trigonometricas-reciprocas/ http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_42.HTM

¿Cómo calcular la medida de altura de las pirámides por medio del teorema de Tales de Mileto?

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.



"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado."









Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo.




Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.




A modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:









El primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente: (Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

¿Cómo midió Tales de Mileto la altura de la Pirámide de Keops?

Cuenta la historia...

Que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto a cerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método muy ingenioso para medir dicha altura.



Tales ante la pregunta, reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, sino que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.



Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: ‘Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide.’

El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade: ‘Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón.”

El método que utilizó Tales de Mileto para calcular la altura de la Pirámide de Keops es lo que conocemos como Teorema de Tales.

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.


De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.
En nuestro caso, se cumple que:

Referencias:

Amadeo Artacho. (2014). La Pirámide de Keops. 03/03/2016, de matematicascercanas Sitio web: http://matematicascercanas.com/2014/04/06/la-piramide-de-keops/#

Triángulos Congruentes Dentro de Figuras Geométricas

Blog 1

"Tipos de Ángulos Formados por la Intersección de Dos Rectas Paralelas con una Secante"

Los ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante se clasifican de la siguiente manera:

Ángulos externos:  Están fuera de las rectas paralelas en ambos lados de la secante.




           

Ángulos internos:  Están dentro de las rectas paralelas en ambos lados de la secante.

Ángulos correspondientes: Están del mismo lado de la secante, es decir tienen la misma ubicación.

Ángulos Alternos Externos: Están fuera de las rectas paralelas en lado distinto de la secante.

Ángulos Alternos Internos: Están dentro de las rectas paralelas en un lado distinto de la secante.

Fuente Bibliográfica: 
Mendez Hinojosa, Arturo. (2014). Angulos formados por dos rectas paralelas y una secante. En Matematicas ll(20-22). Mexico: Santillana.

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Métodos para la Solución de Ecuaciones

Matriz

¿Cuál es la relación de las matrices y los sistemas de ecuaciones con tres incógnitas?

Cuando existe un sistema de tres ecuaciones es asociado con dos matrices, A matriz de coeficientes y A* matriz amplia  ( a la primera matriz se le agrega solamente la columna de los términos independientes).

"
Para resolver hay varios métodos:

• Método de Gauss: Tomamos las matriz ampliada asociada al sistema y hacemos las trasformaciones de filas necesarias para hacer la matriz de coeficientes triangular, a partir de ahí deducimos los valores de las variables. 

• Matríz inversa: Si expresamos el sistema en forma matricial AX=B y A es inversible entonces  donde X es la matriz de variables A la de coeficientes y B la de términos independientes. Condición necesaria es que exista la inversa de A 

• Regla de Cramer:El valor de la variable i-ésima se obtiene del cociente C/D, donde C es el determinante de la matriz de coeficientes donde se cambia la columna i-ésima por la columna de términos independientes y D es el determinante de la matriz de coeficientes.

• Método de Gauss: Tomamos las matriz ampliada asociada al sistema y hacemos las trasformaciones de filas necesarias para hacer la matriz de coeficientes triangular, a partir de ahí deducimos los valores de las  variables. 

• Matríz inversa: Si expresamos el sistema en forma matricial AX=B y A es inversible entonces  donde X es la matriz de variables A la de coeficientes y B la de términos independientes. Condición necesaria es que exista la inversa de A 

• Regla de Cramer:El valor de la variable i-ésima se obtiene del cociente C/D, donde C es el determinante de la matriz de coeficientes donde se cambia la columna i-ésima por la columna de términos independientes y D es el determinante de la matriz de coeficientes.".-ematematicas.net

La relación de estas operaciones matemáticas es que para poder resolver un sistema de tres ecuaciones son automáticamente asociadas con las dos matrices que está conlleva, (A y A*) aunque estas matrices de igual manera son divididas en diferentes, tales como, cuadradas, de fila, cuadradas, etc.

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es utilizada para poder calcular un determinante de forma 3x3 y recibe ese nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus.

Para poder calcular utilizaremos la siguiente matriz:

                                                    

Habrá que repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después se sumarán los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos).

        

Datos importantes:

• El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes.

• Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas) su determinante cambia de signo. 

•   El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

             

Tercer Parcial

Resolver Ecuaciones en Hojas de Cálculo

USO DE UNA HOJA DE CÁLCULO PARA RESOLVER ECUACIONES

La capacidad para crear gráficas de las Hojas de Cálculo, es una herramienta que puede comprometer conceptualmente a los estudiantes y ayudarles a ver las ecuaciones y sus soluciones de nuevas maneras. Los ejemplos que se usan en este artículo se hicieron utilizando la Hoja de Cálculo de “Claris Works” pero el proceso puede adaptarse fácilmente a cualquier programa de Hoja de Cálculo.

Ejemplo 1:

 Ejemplo 2:







información citada desde :

Margaret L. Niess. (2003). CÓMO UTILIZAR LAS HOJAS DE CÁLCULO PARA RESOLVER ECUACIONES. 19/10/15, de Eduteka Sitio web: http://www.eduteka.org/HojaCalculo1.php

Aplicación de Binomios al Cuadrado en el Área de un Cuadrado

Binomios al Cuadrado

Para calcular el área de un cuadrado, la fórmula es L*L.

 Nosotros buscamos como aplicar el binomio al cuadrado en esta fórmula, por lo que sustituiremos, los valores de L por binomios. 

A continuación se pondrá un ejemplo del calculo del área de un cuadrado aplicando un binomio al cuadrado:


Analhayet quiere saber el área de un cuadrado de un ajedrez gigante que hicieron los alumnos de primer semestre para la materia de Matemáticas 1, conoce la medida de un lado, que es x+9, y ella sabe que para calcular el área de un cuadrado la fórmula es: L*L, así que opta por despejar la fórmula de la siguiente manera:

A= L*L

L= x+9

A= (x+9)(x+9)

A= (x+9)²               

A= a²+2ab+b²      

A=x²+2(x)(9)+(9)<sup>2     

A=</sup> x²+18x+81     
     
^{Así que el resultado de la operación será} x²+18x+81          

     

       

 

Aplicación del Producto de Polinomios

Productos de Polinomios 

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio del primer polinomio por cada polinomio del segundo. Luego sumamos aquellos monomios con la misma parte literal. 


Ejemplo:


Mi papá mandó a construir una caja madera para almacenar herramientas, y para construirla, el carpintero, pidió ciertos criterios que mi papá quisiera para construirla, los cuales fueron, que el volumen final de la caja, expresado en una ecuación, fuera de 5x²-100x+500, por lo que el carpitero al no entender muy bien el criterio, le pidió que le diera las medidas exactas, a lo que mi papá le ayudo brindandole la operación de este producto, que era así:

V=Ab*h


Ab= (x-10)

h= (x-10)5

(x-10)(x-10)= x²-10x-10x+100=x²-20x+100

(x²-20x+100)(5)=5x²-100x+500

y de esta manera el carpintero pudo hacer una hermosa caja.

Segundo Parcial

La Historia de Gauss

Anecdota de niño de Gauss

Historia de Carl Friedrich Gauss La historia se sitúa alrededor de 1784, en Brunswick, Alemania. Una maestra de segundo grado de la escuela primaria estaba cansada del "lío" que hacían los chicos, y para tenerlos quietos un poco, les dio el siguiente problema: "calculen la suma de los primeros cien números". La idea era tenerlos callados durante un rato. El hecho es que un niño levantó la mano casi inmediatamente, sin siquiera darle tiempo a la maestra para que terminara de acomodarse en su silla. -¿Sí? -preguntó la maestra mirando al niño. -Ya está, señorita -respondió el pequeño-. El resultado es 5.050. La maestra no podía creer lo que había escuchado, no porque la respuesta fuera falsa, que no lo era, sino porque estaba desconcertada ante la rapidez. -¿Ya lo habías hecho antes? -preguntó. -No, lo acabo de hacer. Mientras tanto, los otros niños recién habían llegado a escribir en el papel los primeros dígitos, y no entendían el intercambio entre su compañero y la maestra. -Vení y contanos a todos cómo lo hiciste. El jovencito, se levantó de su asiento y sin llevar siquiera el papel que tenía adelante se acercó humildemente hasta el pizarrón y comenzó a escribir los números: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 96 + 97 + 98 + 99 + 100 -Bien -siguió el jovencito-. Lo que hice fue sumar el primero y el último número (o sea, el 1 y el 100). Esa suma da 101. -Después, seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99). Esta suma vuelve a dar 101. -Luego, separé el tercero y el antepenúltimo (el 3 y el 98). Sumando estos dos, vuelve a dar 101. -De esta forma, "apareando" los números así y sumándolos, se tienen 50 pares de números cuya suma da 101. Luego, 50 veces 101 resulta en el número 5.050 que es lo que usted quería. La anécdota termina aquí. El jovencito se llamaba Carl Friedrich Gauss. Nació en Brunswick, el 30 de abril de 1777 y murió en 1855 en Gottingen, Hanover, Alemania. Gauss es considerado el "príncipe de la matemática" y fue uno de los mejores (si no el mejor) de la historia. Extraído del libro: “Matemática estás ahí” Adrián Paenza

Espacio Tecnológico

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¿ Cuál es el estado más poblado de nuestro país?

 El Estado de México con 15,175,862

Observa la siguiente tabla, averigua el número de habitantes por entidad federativa... Entidad federativa Población Total Hombres Mujeres Estados Unidos Mexicanos 112,336,538 54,855,231 57,481,307 Aguascalientes 1,184,996 576,638 608,358 Baja California 3,155,070 1,591,610 1,563,460 Baja California Sur 637,026 325,433 311,593 Campeche 822,441 407,721 414,720 Coahuila de Zaragoza 2,748,391 1,364,197 1,384,194 Colima 650,555 322,790 327,765 Chiapas 4,796,580 2,352,807 2,443,773 Chihuahua 3,406,465 1,692,545 1,713,920 Distrito Federal 8,851,080 4,233,783 4,617,297 Durango 1,632,934 803,890 829,044 Guanajuato 5,486,372 2,639,425 2,846,947 Guerrero 3,388,768 1,645,561 1,743,207 Hidalgo 2,665,018 1,285,222 1,379,796 Jalisco 7,350,682 3,600,641 3,750,041 México 15,175,862 7,396,986 7,778,876 Michoacán de Ocampo 4,351,037 2,102,109 2,248,928 Morelos 1,777,227 858,588 918,639 Nayarit 1,084,979 541,007 543,972 Nuevo León 4,653,458 2,320,185 2,333,273 Oaxaca 3,801,962 1,819,008 1,982,954 Puebla 5,779,829 2,769,855 3,009,974 Querétaro 1,827,937 887,188 940,749 Quintana Roo 1,325,578 673,220 652,358 San Luis Potosí 2,585,518 1,260,366 1,325,152 Sinaloa 2,767,761 1,376,201 1,391,560 Sonora 2,662,480 1,339,612 1,322,868 Tabasco 2,238,603 1,100,758 1,137,845 Tamaulipas 3,268,554 1,616,201 1,652,353 Tlaxcala 1,169,936 565,775 604,161 Veracruz de Ignacio de la Llave 7,643,194 3,695,679 3,947,515 Yucatán 1,955,577 963,333 992,244 Zacatecas 1,490,668 726,897 763,771 FUENTE: INEGI. Censo de Población y Vivienda 2010. Estados Unidos Mexicanos /Población total por entidad

¿Cuál es la tasa de crecimiento en México durante los últimos 5 años?

De 1,21%

                              Fuente bibliográfica:

http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/mujeresyhombres.aspx?tema=P

http://www.indexmundi.com/es/mexico/tasa_de_crecimiento.html

números enteros

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Para controlar sus gasto Abigail utiliza un signo positivo si recibe dinero y un signo negativo si realiza un gasto. Lleva su registro quincenal.

Ayuda a Abigail creándole una hoja de Excel para poder administrar sus gastos.

¿Quién fue Fibonacci?

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Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.

La sucesión comienza con los números 1 y 1, y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

 

 

 

La regla

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):
la regla es x_n = x_n-1 + x_n-2
donde:

• x_n es el término en posición "n"
• x_n-1 es el término anterior (n-1)
• x_n-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

 

Máximo común divisor

Mayor número o polinomio que divide exactamente dos o más números o polinomios.

 El máximo común divisor (MCD) de dos o más número natural o enteros (no números con decimales) es el número más grande que les divide.



Para número más grandes es más fácil hacer una descomposición en factores primos. Esta descomposición la empezamos siempre con el número más pequeño divisible del número que analizamos.

10    5

0    2

10    6

4    1    

6 No sería divisor de 10 porque el resto da 4 y tiene que ser 0.

Una vez sabido que los divisores de 10 y de 20 son:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Vamos a ver cuáles son los números que coinciden que son:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Divisores de 10 y 20 son: 1, 2, 5 y 10.

El máximo común divisor sería el 10 porque es el número más grande que, a su vez, es divisor de ambos número (10 y 20).